40 | 线性回归（中）：如何使用最小二乘法进行直线拟合？-程序员必学数学基础课

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### 40 | 线性回归（中）：如何使用最小二乘法进行直线拟合？

在数据科学与机器学习的广阔领域中，线性回归无疑是最基础且应用广泛的模型之一。它不仅能够揭示变量之间的线性关系，还能通过预测分析为决策提供有力支持。本章将深入探讨线性回归模型的核心——如何使用最小二乘法（Least Squares Method）进行直线拟合，帮助读者理解其背后的数学原理及实际应用。

#### 40.1 线性回归概述

线性回归旨在通过一条直线（在多元线性回归中则为超平面）来最佳拟合一组数据点，使得这条直线能够尽可能准确地描述自变量（解释变量）与因变量（响应变量）之间的线性关系。具体来说，线性回归模型可以表示为：

\[ y = \beta_0 + \beta_1x + \epsilon \]

其中，\(y\) 是因变量，\(x\) 是自变量，\(\beta_0\) 是截距项（常数项），\(\beta_1\) 是斜率（回归系数），\(\epsilon\) 是误差项，代表除线性关系外其他所有影响\(y\)的因素或随机误差。

#### 40.2 最小二乘法原理

最小二乘法是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和来寻找数据的最佳函数匹配。在线性回归中，这个“最佳”通常指的是找到一条直线，使得所有观测点到这条直线的垂直距离（即残差）的平方和最小。

设有一组观测数据 \((x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n)\)，我们希望找到直线 \(y = \beta_0 + \beta_1x\)，使得残差平方和（Residual Sum of Squares, RSS）最小：

\[ RSS = \sum_{i=1}^{n} (y_i - (\beta_0 + \beta_1x_i))^2 \]

目标即为求解 \(\beta_0\) 和 \(\beta_1\)，使得 \(RSS\) 达到最小值。

#### 40.3 求解最小二乘估计

为了找到使 \(RSS\) 最小的 \(\beta_0\) 和 \(\beta_1\)，我们可以采用偏导数的方法，即分别对 \(RSS\) 关于 \(\beta_0\) 和 \(\beta_1\) 求偏导，并令其为0。

**步骤一：对 \(\beta_1\) 求偏导**

\[ \frac{\partial RSS}{\partial \beta_1} = \sum_{i=1}^{n} -2x_i(y_i - (\beta_0 + \beta_1x_i)) = 0 \]

整理得：

\[ \sum_{i=1}^{n} x_i(y_i - \beta_0 - \beta_1x_i) = 0 \]

**步骤二：对 \(\beta_0\) 求偏导**

\[ \frac{\partial RSS}{\partial \beta_0} = \sum_{i=1}^{n} -2(y_i - (\beta_0 + \beta_1x_i)) = 0 \]

整理得：

\[ \sum_{i=1}^{n} (y_i - \beta_0 - \beta_1x_i) = 0 \]

**步骤三：解方程组**

从上述两个方程中，我们可以解出 \(\beta_0\) 和 \(\beta_1\)。首先，从关于 \(\beta_1\) 的方程中解出 \(\beta_1\)：

\[ \beta_1 = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_iy_i - n\bar{x}\bar{y}}{\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - n\bar{x}^2} = \frac{\text{Cov}(x, y)}{\text{Var}(x)} \]

其中，\(\bar{x}\) 和 \(\bar{y}\) 分别是 \(x\) 和 \(y\) 的均值，\(\text{Cov}(x, y)\) 是 \(x\) 和 \(y\) 的协方差，\(\text{Var}(x)\) 是 \(x\) 的方差。

然后，将 \(\beta_1\) 代入关于 \(\beta_0\) 的方程中求解 \(\beta_0\)：

\[ \beta_0 = \bar{y} - \beta_1\bar{x} \]

这样，我们就得到了 \(\beta_0\) 和 \(\beta_1\) 的最小二乘估计值。

#### 40.4 最小二乘法的几何解释

从几何角度来看，最小二乘法实际上是在寻找一个超平面（在一维情况下为直线），使得所有数据点到这个超平面的垂直投影距离之和最小。这种解释直观地展示了最小二乘法为何能够有效地拟合数据。

#### 40.5 线性回归的假设与检验

虽然最小二乘法提供了线性回归系数的求解方法，但在实际应用中，我们还需要对模型的有效性进行检验。这通常涉及以下几个假设：

1. **线性关系假设**：自变量与因变量之间存在线性关系。
2. **独立同分布假设**：误差项 \(\epsilon\) 是独立同分布的，且均值为0，方差恒定。
3. **无多重共线性**：自变量之间不存在完全的线性关系。

为了验证这些假设，我们可能会进行诸如残差分析、拟合优度检验（如R²）、显著性检验（如t检验、F检验）等。

#### 40.6 实战案例：使用Python进行线性回归

接下来，我们通过一个简单的Python示例来展示如何使用最小二乘法进行线性回归。这里我们使用`scikit-learn`库中的`LinearRegression`模型，但实际上，手动实现最小二乘法也是一个很好的练习。

```python
import numpy as np
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.linear_model import LinearRegression
import matplotlib.pyplot as plt

# 假设数据
X = np.array([[1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10]])  # 注意：X需要是二维数组
y = np.array([2, 4, 5, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13])

# 划分训练集和测试集（这里仅为示例，实际中可能需要）
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)

# 创建线性回归模型
model = LinearRegression()

# 训练模型
model.fit(X_train, y_train)

# 预测
y_pred = model.predict(X_test)

# 输出系数和截距
print(f"Intercept: {model.intercept_}, Coefficient: {model.coef_}")

# 可视化结果
plt.scatter(X_train, y_train, color='blue', label='Training data')
plt.plot(X_train, model.predict(X_train), color='red', linewidth=3, label='Regression line')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('y')
plt.title('Linear Regression Example')
plt.legend()
plt.show()
```

上述代码展示了如何使用`scikit-learn`中的`LinearRegression`类进行线性回归的拟合与预测，并通过散点图和拟合直线进行可视化。

#### 40.7 总结

本章详细介绍了如何使用最小二乘法进行线性回归的直线拟合，包括其数学原理、求解过程、几何解释以及实际应用中的假设检验和Python实现。通过掌握最小二乘法，读者可以更加深入地理解线性回归模型的本质，为后续学习更复杂的统计与机器学习模型打下坚实的基础。