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01 | 二进制:不了解计算机的源头,你学什么编程
02 | 余数:原来取余操作本身就是个哈希函数
03 | 迭代法:不用编程语言的自带函数,你会如何计算平方根?
04 | 数学归纳法:如何用数学归纳提升代码的运行效率?
05 | 递归(上):泛化数学归纳,如何将复杂问题简单化?
06 | 递归(下):分而治之,从归并排序到MapReduce
07 | 排列:如何让计算机学会“田忌赛马”?
08 | 组合:如何让计算机安排世界杯的赛程?
09 | 动态规划(上):如何实现基于编辑距离的查询推荐?
10 | 动态规划(下):如何求得状态转移方程并进行编程实现?
11 | 树的深度优先搜索(上):如何才能高效率地查字典?
12 | 树的深度优先搜索(下):如何才能高效率地查字典?
13 | 树的广度优先搜索(上):人际关系的六度理论是真的吗?
14 | 树的广度优先搜索(下):为什么双向广度优先搜索的效率更高?
15 | 从树到图:如何让计算机学会看地图?
16 | 时间和空间复杂度(上):优化性能是否只是“纸上谈兵”?
17 | 时间和空间复杂度(下):如何使用六个法则进行复杂度分析?
18 | 总结课:数据结构、编程语句和基础算法体现了哪些数学思想?
19 | 概率和统计:编程为什么需要概率和统计?
20 | 概率基础(上):一篇文章帮你理解随机变量、概率分布和期望值
21 | 概率基础(下):联合概率、条件概率和贝叶斯法则,这些概率公式究竟能做什么?
22 | 朴素贝叶斯:如何让计算机学会自动分类?
23 | 文本分类:如何区分特定类型的新闻?
24 | 语言模型:如何使用链式法则和马尔科夫假设简化概率模型?
25 | 马尔科夫模型:从PageRank到语音识别,背后是什么模型在支撑?
26 | 信息熵:如何通过几个问题,测出你对应的武侠人物?
27 | 决策树:信息增益、增益比率和基尼指数的运用
28 | 熵、信息增益和卡方:如何寻找关键特征?
29 | 归一化和标准化:各种特征如何综合才是最合理的?
30 | 统计意义(上):如何通过显著性检验,判断你的A/B测试结果是不是巧合?
31 | 统计意义(下):如何通过显著性检验,判断你的A/B测试结果是不是巧合?
32 | 概率统计篇答疑和总结:为什么会有欠拟合和过拟合?
33 | 线性代数:线性代数到底都讲了些什么?
34 | 向量空间模型:如何让计算机理解现实事物之间的关系?
35 | 文本检索:如何让计算机处理自然语言?
36 | 文本聚类:如何过滤冗余的新闻?
37 | 矩阵(上):如何使用矩阵操作进行PageRank计算?
38 | 矩阵(下):如何使用矩阵操作进行协同过滤推荐?
39 | 线性回归(上):如何使用高斯消元求解线性方程组?
40 | 线性回归(中):如何使用最小二乘法进行直线拟合?
41 | 线性回归(下):如何使用最小二乘法进行效果验证?
42 | PCA主成分分析(上):如何利用协方差矩阵来降维?
43 | PCA主成分分析(下):为什么要计算协方差矩阵的特征值和特征向量?
44 | 奇异值分解:如何挖掘潜在的语义关系?
45 | 线性代数篇答疑和总结:矩阵乘法的几何意义是什么?
46 | 缓存系统:如何通过哈希表和队列实现高效访问?
47 | 搜索引擎(上):如何通过倒排索引和向量空间模型,打造一个简单的搜索引擎?
48 | 搜索引擎(下):如何通过查询的分类,让电商平台的搜索结果更相关?
49 | 推荐系统(上):如何实现基于相似度的协同过滤?
50 | 推荐系统(下):如何通过SVD分析用户和物品的矩阵?
51 | 综合应用篇答疑和总结:如何进行个性化用户画像的设计?
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程序员必学数学基础课
小册名称:程序员必学数学基础课
### 45 | 线性代数篇答疑和总结:矩阵乘法的几何意义是什么? 在深入探讨编程与数学交叉领域的核心知识时,线性代数无疑是一座不可或缺的桥梁。它不仅为计算机图形学、机器学习、数据分析等领域提供了强大的数学工具,更是程序员深入理解算法本质、优化程序性能的钥匙。本章节聚焦于线性代数中的一个核心概念——矩阵乘法,特别是其背后的几何意义,旨在帮助读者揭开矩阵运算的神秘面纱,感受数学之美与实用之妙的完美融合。 #### 一、矩阵乘法的直观理解 首先,让我们从最基本的定义出发。在数学上,矩阵乘法(Matrix Multiplication)定义为两个矩阵A和B相乘,当且仅当A的列数等于B的行数时,结果矩阵C的每个元素c_ij是A的第i行与B的第j列对应元素乘积之和。这个定义看似抽象且计算繁琐,但当我们将其置于几何的框架下审视时,矩阵乘法的本质便逐渐清晰起来。 #### 二、矩阵作为线性变换的载体 理解矩阵乘法的几何意义,关键在于认识到矩阵是线性变换(Linear Transformation)的代数表示。线性变换是指满足线性性和齐次性的变换,即满足加法和数乘的封闭性。在二维或三维空间中,这可以理解为图形的旋转、缩放、剪切或它们的组合。矩阵乘法则实现了从一个线性变换到另一个线性变换的复合,或者说,是将一个空间中的点(或向量)通过一系列线性变换映射到另一个空间的过程。 #### 三、矩阵乘法的几何解释 1. **旋转与缩放**: 假设我们有一个二维空间中的点(x, y),以及两个矩阵A和B,分别代表不同的线性变换。A可能表示一个旋转操作,而B表示一个缩放操作。当我们对点(x, y)应用变换A后,再应用变换B,即计算(B*A)*[x y]^T(其中^T表示转置,用于将点的坐标写成列向量的形式),这一过程实际上是在执行一个复合变换。这个复合变换的几何效果就是先将点按照A的规则旋转,然后再按照B的规则缩放。这里,矩阵乘法B*A的结果就是一个新的矩阵,它直接表示了这个复合变换。 2. **变换的组合与顺序**: 值得注意的是,矩阵乘法的顺序非常关键。在上面的例子中,B*A与A*B代表的是完全不同的变换。这反映了线性变换组合的非交换性,即先旋转后缩放与先缩放后旋转的结果往往不同。这种顺序敏感性是矩阵乘法几何意义中的一个重要特征。 3. **投影与反射**: 除了旋转和缩放,矩阵乘法还能表示更复杂的线性变换,如投影和反射。投影变换可以将三维空间中的点映射到二维平面上,而反射变换则是关于某条直线或平面的镜像操作。这些变换同样可以通过特定的矩阵乘法来实现,其背后的几何直观性让复杂的数学运算变得直观可解。 4. **空间变换与坐标变换**: 从更广义的角度来看,矩阵乘法还涉及到空间变换与坐标变换的深刻联系。在一个给定的坐标系下,矩阵乘法可以视为对空间中的点或向量进行重新定位的过程;而当我们改变坐标系时,同一个点或向量在新的坐标系下的坐标表示也会发生变化,这种变化同样可以通过矩阵乘法来描述。这种双重性使得矩阵乘法在处理不同参考系下的物理量或数据点时显得尤为强大。 #### 四、实际应用场景 - **计算机图形学**:在3D游戏和动画制作中,矩阵乘法被广泛应用于计算物体的位置、旋转和缩放,以及实现相机视角的变换。 - **机器学习**:在神经网络中,权重矩阵的乘法运算实现了输入数据的线性变换,这是构建复杂非线性模型的基础。 - **数据分析与信号处理**:通过矩阵乘法,可以高效地进行数据的线性组合、滤波和降维处理,是数据预处理和分析的关键步骤。 #### 五、总结 综上所述,矩阵乘法的几何意义远不止于简单的数值运算,它是线性变换复合的代数表达,是空间与坐标变换的桥梁,是连接数学抽象与物理直观的纽带。通过深入理解矩阵乘法的几何意义,程序员不仅能够更加灵活地运用线性代数工具解决实际问题,还能够从更高的视角审视算法与数据之间的关系,进而提升编程的效率和深度。在这个过程中,我们不仅能够感受到数学的严谨与美丽,更能体会到其作为解决实际问题强大工具的独特魅力。
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