111 | Policy Gradient：如何进行Policy Gradient的基本推导？
在强化学习（Reinforcement Learning, RL）的广阔领域中，策略梯度（Policy Gradient）方法占据了举足轻重的地位，尤其是在处理连续动作空间或复杂策略时表现出色。不同于基于值函数（如Q-learning）或基于模型的方法，策略梯度方法直接优化策略本身，使得在给定状态下选择最佳动作的概率最大化。本章将深入解析Policy Gradient的基本原理及其基本推导过程，为读者构建坚实的理论基础。
一、引言
强化学习问题通常可以形式化为一个马尔可夫决策过程（MDP），其中包含四个关键元素：状态空间$S$、动作空间$A$、转移概率$P(s’|s, a)$以及奖励函数$R(s, a)$。目标是找到一个策略$\pi(a|s)$，该策略能够最大化从任意初始状态开始的累积折扣奖励，即期望回报$J(\pi)$。
策略$\pi$可以是任意的函数，它根据当前状态$s$输出一个动作$a$的概率分布。在Policy Gradient方法中，我们不直接优化价值函数（如Q值或V值），而是直接优化策略参数$\theta$，使得策略$\pi_\theta(a|s)$能够最大化期望回报。
二、策略梯度定理
策略梯度定理是Policy Gradient方法的核心，它建立了策略参数梯度与期望回报梯度之间的关系。该定理表明，策略参数的更新方向应沿着能够增加期望回报的方向。
定理（策略梯度定理）：对于任意可微的策略$\pi_\theta(a|s)$，其关于参数$\theta$的梯度可以表示为：
\nabla\theta J(\theta) = \mathbb{E}{\tau \sim \pi\theta}\left[\sum{t=0}^T \nabla\theta \log \pi\theta(a_t|s_t) R(\tau)\right]
其中，$\tau = (s0, a_0, r_0, s_1, a_1, r_1, \ldots, s_T, a_T, r_T)$表示一条完整的轨迹，$R(\tau) = \sum{t=0}^T \gamma^t r_t$是轨迹的总折扣奖励，$\gamma$是折扣因子。
这个定理的关键在于引入了$\log \pi_\theta(a_t|s_t)$项，它作为权重因子，使得在轨迹中表现好的动作（即导致高奖励的动作）对应的策略参数得到更多的正向更新，而表现差的动作则得到较少的更新或负向更新。
三、基本推导过程
为了更清晰地理解策略梯度定理的推导，我们可以从期望回报的定义出发，逐步推导。
步骤1：期望回报的定义
首先，我们定义期望回报$J(\theta)$为从初始状态$s0$开始，遵循策略$\pi\theta$所得到的累积折扣奖励的期望值：
J(\theta) = \mathbb{E}{\tau \sim \pi\theta}[R(\tau)] = \mathbb{E}{\tau \sim \pi\theta}\left[\sum_{t=0}^T \gamma^t r_t\right]
步骤2：利用链式法则
为了找到$J(\theta)$关于$\theta$的梯度，我们可以使用链式法则（也称为微积分的链式规则）。然而，由于$J(\theta)$是通过复杂的采样过程（即轨迹$\tau$）定义的，直接应用链式法则并不直观。因此，我们考虑将期望回报重写为状态访问频率的加权平均，即：
J(\theta) = \sums d^{\pi\theta}(s) \suma \pi\theta(a|s) R_s^a
其中，$d^{\pi\theta}(s)$是在策略$\pi\theta$下状态$s$的稳态分布，$R_s^a = \mathbb{E}[r_t | s_t=s, a_t=a]$是从状态$s$采取动作$a$后得到的即时奖励的期望值。
步骤3：对$J(\theta)$求导
现在，我们对$J(\theta)$关于$\theta$求导。由于$d^{\pi\theta}(s)$和$R_s^a$通常与$\theta$无直接关系（除非环境是动态的且依赖于策略），我们主要关注$\pi\theta(a|s)$的导数。应用链式法则和概率的对数导数技巧，我们得到：
\nabla\theta J(\theta) = \sum_s d^{\pi\theta}(s) \suma \nabla\theta \pi_\theta(a|s) R_s^a
由于$\nabla\theta \pi\theta(a|s) = \pi\theta(a|s) \frac{\nabla\theta \pi\theta(a|s)}{\pi\theta(a|s)} = \pi\theta(a|s) \nabla\theta \log \pi_\theta(a|s)$，上式可进一步化简为：
\nabla\theta J(\theta) = \sum_s d^{\pi\theta}(s) \suma \pi\theta(a|s) \nabla\theta \log \pi\theta(a|s) R_s^a
注意到，这里的$R_s^a$是状态-动作对的即时奖励期望值，但在实际中，我们往往只能获得整个轨迹的总奖励。因此，我们用一个更实用的形式来表示梯度，即使用轨迹的总折扣奖励$R(\tau)$来替代$R_s^a$，并通过期望来整合所有可能的轨迹：
\nabla\theta J(\theta) = \mathbb{E}{\tau \sim \pi\theta}\left[\sum{t=0}^T \nabla\theta \log \pi\theta(a_t|s_t) R(\tau)\right]
这正是策略梯度定理的表达式。
四、实现与优化
在实际应用中，直接计算上述梯度是不切实际的，因为我们需要遍历所有可能的轨迹。因此，通常采用蒙特卡洛采样（Monte Carlo sampling）或时间差分（Temporal Difference, TD）学习的方法来近似这个梯度。
- 蒙特卡洛方法：通过多次模拟来估计$R(\tau)$，并据此更新策略参数。这种方法简单直观，但样本效率低，尤其是在高维状态空间中。
- REINFORCE算法：是蒙特卡洛策略梯度方法的一个典型实现，它使用轨迹的总奖励来作为梯度估计中的权重。
- Actor-Critic方法：结合了值函数估计和策略梯度，通过引入一个Critic网络来估计动作值函数（Q值或V值），从而提供更稳定的梯度估计。
此外，为了改善策略梯度的学习效率和稳定性，还可以采用多种技巧，如基线减除（Baseline Subtraction）、重要性采样（Importance Sampling）和熵正则化（Entropy Regularization）等。
五、结论
通过本章的探讨，我们深入理解了Policy Gradient方法的基本原理及其基本推导过程。策略梯度定理为我们提供了直接优化策略参数的途径，使得在复杂环境中学习最优策略成为可能。然而，实际应用中仍需考虑多种因素，如样本效率、学习稳定性等，并采取相应的优化措施。希望本章的内容能为读者在强化学习领域，尤其是Policy Gradient方法的研究与实践提供有力支持。
