47 | 面试题：乘积最大子序列-算法面试通关 50 讲

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### 47 | 面试题：乘积最大子序列

在算法面试中，动态规划（Dynamic Programming, DP）是一个极其重要的概念，它不仅能够帮助我们解决复杂问题，还能提升解题的效率和思维深度。其中，“乘积最大子序列”问题是动态规划应用中的一个经典案例，它要求我们在一个整数数组中找出一个连续子序列，使得该子序列中所有元素的乘积达到最大。这个问题看似简单，实则蕴含了多种边界情况和优化策略，是考察面试者算法设计和分析能力的一个好题目。

#### 问题描述

给定一个整数数组 `nums`，找到一个具有最大乘积的连续子数组（至少包含一个元素），返回该子数组的最大乘积。

#### 示例

```plaintext
输入: nums = [2,3,-2,4]
输出: 6
解释: 子数组 [2,3] 有最大乘积 6。

输入: nums = [-2,0,-1]
输出: 0
解释: 结果不能为 2, 因为 [-2,-1] 的乘积是负数，而子数组必须至少包含一个元素。
```

#### 分析

首先，我们需要明确几个关键点：

1. **负数乘以负数得正数**：这意味着，如果当前元素是负数，并且之前的乘积也是负数，那么将当前元素加入乘积可能会使结果变得更大。
2. **零的特殊性**：任何数与零相乘都等于零，这可能会中断当前的乘积增长序列。
3. **动态规划的应用**：我们需要记录到当前位置为止的最大乘积和最小乘积（因为考虑到负数的存在），以便在遍历过程中更新这两个值。

#### 解决方案

基于以上分析，我们可以设计如下动态规划算法：

- 定义两个变量 `maxProduct` 和 `minProduct` 分别表示到当前位置为止的最大乘积和最小乘积（注意，初始时，它们都应该被初始化为数组的第一个元素，因为子序列至少包含一个元素）。
- 遍历数组 `nums`，对于每个元素 `num`，更新 `maxProduct` 和 `minProduct`。
  - 更新 `maxProduct` 时，需要考虑两种情况：一是当前元素 `num` 自身（如果 `num` 大于之前的 `maxProduct`），二是将 `num` 与之前的 `maxProduct` 或 `minProduct` 相乘（因为负数乘以负数可能得到更大的正数）。
  - 更新 `minProduct` 时，同样考虑两种情况：一是当前元素 `num` 自身（如果 `num` 小于之前的 `minProduct`），二是将 `num` 与之前的 `maxProduct` 或 `minProduct` 相乘（因为负数乘以正数可能得到更小的负数）。
- 遍历过程中，同时维护一个全局的最大乘积 `globalMaxProduct`，用于记录遍历过程中的最大乘积。

#### 代码实现

下面是该算法的 Python 代码实现：

```python
def maxProduct(nums):
    if not nums:
        return 0
    
    maxProduct = minProduct = nums[0]
    globalMaxProduct = nums[0]
    
    for num in nums[1:]:
        # 临时保存当前maxProduct和minProduct的值
        prevMax = maxProduct
        prevMin = minProduct
        
        # 更新maxProduct和minProduct
        maxProduct = max(num, prevMax * num, prevMin * num)
        minProduct = min(num, prevMax * num, prevMin * num)
        
        # 更新全局最大乘积
        globalMaxProduct = max(globalMaxProduct, maxProduct)
    
    return globalMaxProduct

# 测试样例
print(maxProduct([2,3,-2,4]))  # 输出: 6
print(maxProduct([-2,0,-1]))   # 输出: 0
```

#### 复杂度分析

- **时间复杂度**：O(n)，其中 n 是数组 `nums` 的长度。我们只需要遍历一次数组即可。
- **空间复杂度**：O(1)。我们只使用了常数个变量来存储中间结果，没有使用与输入规模相关的额外空间。

#### 进一步优化与思考

虽然上述算法已经非常高效且易于理解，但在实际面试中，面试官可能还会进一步询问是否有其他方法或优化思路。例如，可以尝试使用分治法（Divide and Conquer）来解决这个问题，虽然分治法的时间复杂度也是 O(n)，但其思想更加复杂，且在某些情况下（如数组中包含大量零时）可能不是最优选择。

此外，还可以思考如何处理数组中存在大量负数或零的情况，以及这些特殊情况如何影响算法的选择和效率。通过这些深入思考，可以进一步展现面试者的算法素养和问题解决能力。

总之，“乘积最大子序列”问题是一个典型的动态规划应用案例，它不仅考察了面试者对动态规划的理解和应用能力，还通过负数、零等特殊情况考验了面试者的边界条件处理能力和思维深度。希望通过本文的讲解，读者能够对该问题有更深入的理解和掌握。

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