43 | 理论理解：动态规划（上）

引言

在算法的世界里，动态规划（Dynamic Programming, DP）无疑是一座巍峨的灯塔，照亮了求解复杂问题的高效之路。它以其独特的“分而治之”与“记忆化搜索”相结合的思想，在解决最优化问题、计数问题以及某些图论问题时展现出非凡的威力。本章，我们将踏入动态规划的理论殿堂，从基础概念讲起，逐步揭开其神秘面纱，为后续的实战应用打下坚实的基础。

一、动态规划的基本概念

1.1 定义与核心思想

动态规划是一种通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。其核心思想在于：将问题分解为重叠的子问题，并保存已解决子问题的答案，避免重复计算，从而提高算法效率。这里的“重叠”是关键，它意味着在求解过程中，某些子问题会被多次求解，而动态规划通过“记忆化”这些子问题的解，来减少不必要的重复计算。

1.2 适用场景

动态规划适用于具有以下特征的问题：

• 最优子结构：原问题的最优解包含其子问题的最优解。
• 无后效性（也称无后向性）：一旦某个状态确定，则此后的决策与之前的决策无关，只与当前状态有关。
• 重叠子问题：在求解过程中，相同的子问题会被多次求解。

1.3 基本要素

动态规划解决问题时，通常涉及以下几个基本要素：

• 状态定义：明确问题的状态空间，即所有可能的状态集合。
• 状态转移方程：描述状态之间如何转移，即如何从当前状态推导出下一个状态或求解当前状态的最优解。
• 初始条件和边界情况：明确问题的起点和特殊情况的处理方式。
• 目标：明确最终要求解的问题是什么，是找到最优解还是满足某种条件的状态。

二、动态规划的基本步骤

2.1 划分阶段

首先，将原问题按时间或空间等自然顺序划分为若干个相互联系的阶段，使得前一阶段的输出成为后一阶段的输入。

2.2 确定状态和状态变量

根据问题特征，选取合适的变量来表示状态，并确定每个阶段的状态变量取值范围。状态变量应能够完全描述当前阶段的特征，且易于通过状态转移方程推导出下一阶段的状态。

2.3 确定决策并写出状态转移方程

根据问题特征，确定在每个阶段可以采取的决策（行动）集合，并写出状态转移方程。状态转移方程是动态规划的核心，它描述了状态之间的依赖关系，以及如何根据当前状态和前一阶段的决策推导出当前阶段的最优解。

2.4 找出边界条件

边界条件通常是问题的初始状态或某些特殊情况下的状态，它们是递推计算的起点。

2.5 确定计算顺序，逐步递推求解

根据状态转移方程和边界条件，从初始状态开始，逐步递推求解每个阶段的状态值，直至达到目标状态。

2.6 构造最优解

根据问题的需要，可能还需要从最终状态出发，通过记录的状态转移路径回溯构造出最优解。

三、动态规划的经典应用示例

3.1 斐波那契数列

斐波那契数列是一个非常经典的动态规划入门问题。数列定义为：F(0)=0, F(1)=1, 对于n>1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)。直接递归求解会导致大量重复计算，而使用动态规划则可以有效避免这一问题。

解法示例：

• 定义状态dp[i]为斐波那契数列的第i项。
• 状态转移方程为dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]。
• 初始条件为dp[0] = 0, dp[1] = 1。
• 遍历i从2到n，依次计算dp[i]的值，最终dp[n]即为所求。

3.2 最长上升子序列（LIS）

最长上升子序列问题也是动态规划中的经典问题之一。给定一个无序的整数数组，找到其中最长上升子序列的长度。

解法示例：

• 定义状态dp[i]为以第i个元素结尾的最长上升子序列的长度。
• 状态转移方程为dp[i] = max(dp[j] + 1)，其中j < i且nums[j] < nums[i]。
• 初始化dp数组，通常将所有元素初始化为1，因为每个元素自身至少可以构成一个长度为1的上升子序列。
• 遍历数组nums，对于每个元素nums[i]，再遍历它之前的所有元素nums[j]（j < i），更新dp[i]。
• 遍历完成后，dp数组中的最大值即为最长上升子序列的长度。

注意：在实际应用中，为了优化性能，常采用二分查找等技巧来进一步降低时间复杂度，但这已超出本章“理论理解”的范畴，留待后续章节探讨。

四、动态规划中的优化技巧

4.1 记忆化搜索

对于某些递归形式明显的动态规划问题，可以使用记忆化搜索来减少重复计算。通过在递归过程中保存已经计算过的子问题的答案，当再次遇到相同的子问题时直接返回结果，从而避免重复计算。

4.2 滚动数组

当状态转移方程中只涉及到当前状态和前面有限几个状态的信息时，可以使用滚动数组来优化空间复杂度。通过只保存当前状态和必要的前几个状态的信息，可以显著减少空间消耗。

4.3 斜率优化与四边形不等式

对于更复杂的动态规划问题，如涉及到决策单调性或满足四边形不等式的问题，可以通过斜率优化等技术来进一步优化算法效率。这些高级技巧通常用于解决特定类型的动态规划问题，如优化一维DP的转移时间复杂度等。

结语

动态规划是一门博大精深的算法艺术，它以其独特的思维方式解决了众多看似难以逾越的算法难题。本章作为“动态规划”理论的开篇，仅介绍了其基本概念、基本步骤以及部分经典应用示例和优化技巧。未来，随着对动态规划深入的学习和实践，你将发现更多其精妙之处，并在解决实际问题的过程中体验到它带来的乐趣和成就感。希望本章内容能为你后续的动态规划之旅打下坚实的基础，引领你走向更加广阔的算法世界。