章节 42 | 面试题：N皇后问题的另一种解法

在算法面试的广阔天地中，N皇后问题以其独特的魅力占据着重要一席。作为经典的回溯算法应用实例，N皇后问题要求在一个N×N的棋盘上放置N个皇后，使得它们互不攻击，即任意两个皇后都不在同一行、同一列或同一对角线上。传统的解法往往聚焦于如何高效地递归搜索所有可能的布局，并通过剪枝来减少不必要的探索。然而，本章节将介绍一种别开生面的解法，它不仅保留了回溯算法的核心思想，还融入了位运算的精髓，极大地提高了算法的效率与空间利用率。

一、问题回顾与基础解法概述

首先，让我们简要回顾N皇后问题的基本要求。在N×N的棋盘上，每个皇后占据一个格子，且需满足以下条件：

• 任意两个皇后不能在同一行（由棋盘结构自然保证，因为每行只放一个皇后）。
• 任意两个皇后不能在同一列。
• 任意两个皇后不能在同一主对角线上。
• 任意两个皇后不能在同一副对角线上。

传统解法通常采用回溯算法，通过递归地尝试在每一行的每一列放置皇后，并检查是否与前述已放置的皇后冲突。若冲突，则回溯到上一行尝试另一种放置方式；若无冲突，则继续下一行的放置。这种方法虽然直观易懂，但在处理大规模问题时，其性能瓶颈逐渐显现。

二、位运算优化的思路

位运算，作为计算机底层操作的精髓，能够以极高的效率处理整数的二进制表示。在N皇后问题中，我们可以利用位运算来优化冲突检测与皇后放置的过程。具体思路如下：

1. 列冲突检测：使用一个整数cols，其第i位表示第i列是否已被占用（1为占用，0为空闲）。通过位运算中的与操作（&）可以快速判断新位置是否会引起列冲突。

2. 主对角线冲突检测：对于每个位置(row, col)，其主对角线的特征可以由row - col唯一确定（考虑行和列的偏移量）。我们可以使用一个整数diagonals1来记录所有已放置皇后的主对角线信息，其中第row-col位表示该主对角线是否被占用。

3. 副对角线冲突检测：类似地，副对角线的特征可以由row + col唯一确定（考虑行和列的和）。使用另一个整数diagonals2来记录副对角线的占用情况，其中第row+col位表示该副对角线是否被占用。

三、算法实现细节

以下是一个基于上述思路的N皇后问题的位运算解法实现（以Python为例）：

def solveNQueens(n):
    def backtrack(row, cols, diagonals1, diagonals2, result):
        if row == n:  # 所有行都已放置皇后，找到一种解决方案
            result.append(['.' * i + 'Q' + '.' * (n - i - 1) for i in range(n)])
            return
        for col in range(n):
            # 检查列、主对角线和副对角线是否冲突
            if (cols & (1 << col)) == 0 and \
               (diagonals1 & (1 << (row - col + n - 1))) == 0 and \
               (diagonals2 & (1 << (row + col))) == 0:
                # 放置皇后
                cols |= (1 << col)
                diagonals1 |= (1 << (row - col + n - 1))
                diagonals2 |= (1 << (row + col))
                # 递归放置下一行的皇后
                backtrack(row + 1, cols, diagonals1, diagonals2, result)
                # 回溯，撤销当前皇后的放置
                cols &= ~(1 << col)
                diagonals1 &= ~(1 << (row - col + n - 1))
                diagonals2 &= ~(1 << (row + col))
    result = []
    backtrack(0, 0, 0, 0, result)
    return result
# 调用函数并打印结果（例如N=4）
solutions = solveNQueens(4)
for solution in solutions:
    for row in solution:
        print(row)
    print()

四、性能分析

相较于传统的回溯算法，位运算优化的解法在多个方面展现出优势：

• 时间复杂度：虽然最坏情况下的时间复杂度仍然是O(N!)，但由于位运算的高效性，实际执行时间显著减少。
• 空间复杂度：使用位运算减少了额外存储空间的需求，如使用整数代替布尔数组来记录列、主对角线和副对角线的占用情况，大大节省了内存空间。
• 代码简洁性：位运算的引入使得冲突检测的逻辑更加紧凑，代码更加易于理解和维护。

五、总结与展望

通过引入位运算，我们为N皇后问题找到了一种新颖且高效的解法。这种解法不仅展示了位运算在算法设计中的应用潜力，也为我们解决类似问题提供了新的思路。未来，随着算法研究的深入，我们或许能探索出更多基于位运算或其他高级技巧的优化解法，进一步推动算法设计领域的发展。

总之，N皇后问题作为算法面试中的经典难题，其解法多样且富有挑战性。通过本章节的介绍，我们希望能够激发读者对算法优化和位运算的兴趣，鼓励大家在解决实际问题时勇于尝试新思路、新方法。