17 | 理论讲解：树&二叉树&二叉搜索树-算法面试通关 50 讲

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### 17 | 理论讲解：树&二叉树&二叉搜索树

在算法与数据结构的广阔领域中，树（Tree）作为一种非常重要的非线性数据结构，广泛应用于各种场景，从操作系统的文件管理到数据库索引，再到复杂算法的实现，树都扮演着不可或缺的角色。本章将深入剖析树的基本概念、二叉树的特性及其特殊形式——二叉搜索树（Binary Search Tree, BST），旨在为读者构建起坚实的理论基础，为后续的算法面试及实际应用打下坚实的基础。

#### 一、树的基本概念

**1.1 定义与术语**

树是一种递归定义的数据结构，它由一个根节点（root node）以及零个或多个子树组成，每个子树同样是一棵树。树中的每个节点（node）都包含数据部分和指向其子节点的链接（link）。树中不存在环，即任何节点都不能通过一系列边回到自己。

- **根节点**：树中唯一的起点，没有父节点。
- **父节点**：除了根节点外，每个节点都有一个父节点。
- **子节点**：一个节点可以有零个或多个子节点。
- **叶子节点**（Leaf Node）：没有子节点的节点。
- **兄弟节点**：具有相同父节点的节点。
- **树的度**：树中节点的最大子节点数。
- **树的深度**（Depth）或**高度**（Height）：从根节点到最远叶子节点的最长路径上的节点数。

**1.2 树的类型**

树有多种类型，根据节点是否有序、是否有固定度数等标准划分。常见的树类型包括：

- **无序树**：节点间没有特定的顺序关系。
- **有序树**：树中节点的子节点之间有明确的顺序。
- **二叉树**：每个节点最多有两个子节点的树，即左子节点和右子节点。
- **多叉树**：节点子节点数不受限制，超过两个。
- **平衡树**：任何节点的两个子树的高度最大差别为1的树，如AVL树、红黑树等。

#### 二、二叉树详解

**2.1 定义与特性**

二叉树是最基本的树形结构，每个节点最多有两个子节点，通常称为左子节点和右子节点。二叉树可以是空的（没有节点），也可以包含一个根节点以及它左、右两个子树。

**2.2 基本操作**

二叉树的基本操作包括但不限于：

- **遍历**：按照某种顺序访问树中每个节点，且不重复。常见的遍历方式有前序遍历（Preorder）、中序遍历（Inorder）、后序遍历（Postorder）和层次遍历（Level-order）。
- **插入**：在二叉树中插入新的节点，保持树的性质（如二叉搜索树的排序性质）。
- **删除**：从二叉树中移除指定节点，同时保持树的性质。
- **查找**：在二叉树中查找特定值的节点。

**2.3 特殊类型的二叉树**

- **满二叉树**：所有层都完全填满的二叉树，即除了叶子节点外，每个节点都有两个子节点。
- **完全二叉树**：从根节点开始，每层都完全填满，且所有叶子节点都集中在最底层或倒数第二层，且最底层的叶子节点从左到右连续排列。

#### 三、二叉搜索树（BST）

**3.1 定义与性质**

二叉搜索树（BST）是一种特殊的二叉树，它满足以下性质：

- 对于树中的每个节点X，其左子树中的所有项的值都小于X中的项，而其右子树中的所有项的值都大于X中的项。
- 左子树和右子树也必须是二叉搜索树。

这一性质使得二叉搜索树在查找、插入和删除操作中具有较高的效率，其平均时间复杂度为O(log n)，其中n是树中节点的数量。

**3.2 插入操作**

在BST中插入新节点时，从根节点开始，比较待插入节点值与当前节点值：

- 如果待插入节点值小于当前节点值，移动到左子树；
- 如果待插入节点值大于当前节点值，移动到右子树；
- 如果当前节点为空（即到达叶子节点的下一层），则在此位置创建新节点。

**3.3 删除操作**

删除操作相对复杂，需要分三种情况处理：

1. **待删除节点是叶子节点**：直接删除该节点，并修改其父节点的指针。
2. **待删除节点有一个子节点**：将待删除节点的子节点提升到待删除节点的位置，并修改其父节点的指针指向该子节点。
3. **待删除节点有两个子节点**：找到待删除节点右子树中的最小节点（或左子树中的最大节点），用它来替换待删除节点，并删除原最小（或最大）节点。这一步通常涉及递归查找和替换。

**3.4 平衡问题**

虽然BST的查找、插入和删除操作在平均情况下效率较高，但在最坏情况下（如插入的序列已经有序），BST会退化为链表，导致时间复杂度退化为O(n)。为了解决这个问题，引入了多种自平衡的二叉搜索树，如AVL树、红黑树等，它们通过特定的旋转操作和颜色标记来维护树的平衡，从而保持较高的操作效率。

#### 四、总结与展望

本章详细阐述了树的基本概念、二叉树的特性及其特殊形式——二叉搜索树的理论知识。树作为算法与数据结构中的核心概念之一，其重要性不言而喻。理解和掌握树的各种操作及其变种，对于提升算法思维能力和解决实际问题的能力至关重要。

未来，随着数据规模的不断增长和计算需求的日益复杂化，树结构及其变种的应用将更加广泛。例如，在大数据处理中，利用树形结构构建索引可以显著提高查询效率；在人工智能领域，决策树、随机森林等基于树结构的算法在分类、回归等任务中表现出色。因此，深入学习和掌握树的相关知识，将为我们在算法面试及未来的职业生涯中提供强大的支持。

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