Problem
For a given sorted array (ascending order) and a target number, find thefirst index of this number in O(log n) time complexity.

If the target number does not exist in the array, return -1.

Example
If the array is [1, 2, 3, 3, 4, 5, 10], for given target 3, return 2.

Challenge
If the count of numbers is bigger than 2322^{32}232, can your code work properly?

题解
对于已排序升序(升序)数组，使用二分查找可满足复杂度要求，注意数组中可能有重复值，所以需要使用类似lower_bound中提到的方法。

Java

class Solution {
    /**
     * @param nums: The integer array.
     * @param target: Target to find.
     * @return: The first position of target. Position starts from 0.
     */
    public int binarySearch(int[] nums, int target) {
        if (nums == null || nums.length == 0) {
            return -1;
        }
        int start = -1, end = nums.length;
        int mid;
        while (start + 1 < end) {
            // avoid overflow when (end + start)
            mid = start + (end - start) / 2;
            if (nums[mid] < target) {
                start = mid;
            } else {
                end = mid;
            }
        }
        if (end == nums.length || nums[end] != target) {
            return -1;
        } else {
            return end;
        }
    }
}

源码分析

• 首先对输入做异常处理，数组为空或者长度为0。
• 初始化 start, end, mid三个变量，这里start初始化为-1主要是考虑到end为1。注意mid的求值方法，可以防止两个整型值相加时溢出。
• 使用迭代而不是递归进行二分查找，因为工程中递归写法存在潜在溢出的可能。
• while终止条件应为start + 1 < end而不是start <= end，start == end时可能出现死循环。即循环终止条件是相邻或相交元素时退出。由于这里初始化时start < end，所以一定是start + 1 == end时退出循环。
• 迭代终止时有两种情况，一种是在原数组中找到了，这种情况下一定是end, 因为start的更新只在nums[mid] < target.
• 最后判断end和target的关系，先排除end为数组长度这种会引起越界的情况，然后再判断和目标值是否相等。

复杂度分析
时间复杂度 O(logn)O(\log n)O(logn), 空间复杂度 (1)(1)(1).对于题中的 follow up, Java 中数组不允许使用 long 型，如果使用 long 型，那么数组大小可大 17GB 之巨！！几乎没法用。