算法分析-数据结构与算法(上)

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我们在前面的章节中看到，Java 提供了两种`List`接口的实现，`ArrayList`和`LinkedList`。对于一些应用，`LinkedList`更快；对于其他应用，`ArrayList`更快。

要确定对于特定的应用，哪一个更好，一种方法是尝试它们，并看看它们需要多长时间。这种称为“性能分析”的方法有一些问题：

+   在比较算法之前，你必须实现这两个算法。
+   结果可能取决于你使用什么样的计算机。一种算法可能在一台机器上更好；另一个可能在不同的机器上更好。
+   结果可能取决于问题规模或作为输入提供的数据。

我们可以使用算法分析来解决这些问题中的一些问题。当它有效时，算法分析使我们可以比较算法而不必实现它们。但是我们必须做出一些假设：

+   为了避免处理计算机硬件的细节，我们通常会识别构成算法的基本操作，如加法，乘法和数字比较，并计算每个算法所需的操作次数。
+   为了避免处理输入数据的细节，最好的选择是分析我们预期输入的平均性能。如果不可能，一个常见的选择是分析最坏的情况。
+   最后，我们必须处理一个可能性，一种算法最适合小问题，另一个算法适用于较大的问题。在这种情况下，我们通常专注于较大的问题，因为小问题的差异可能并不重要，但对于大问题，差异可能是巨大的。

这种分析适用于简单的算法分类。例如，如果我们知道算法`A`的运行时间通常与输入规模成正比，即`n`，并且算法`B`通常与`n ** 2`成比例，我们预计`A`比`B`更快，至少对于`n`的较大值。

大多数简单的算法只能分为几类。

+   常数时间：如果运行时间不依赖于输入的大小，算法是“常数时间”。例如，如果你有一个`n`个元素的数组，并且使用下标运算符（`[]`）来访问其中一个元素，则此操作将执行相同数量的操作，而不管数组有多大。
+   线性：如果运行时间与输入的大小成正比，则算法为“线性”的。例如，如果你计算数组的和，则必须访问`n`个元素并执行`n - 1`个添加。操作的总数（元素访问和加法）为`2 * n -1`，与`n`成正比。
+   平方：如果运行时间与`n ** 2`成正比，算法是“平方”的。例如，假设你要检查列表中的任何元素是否多次出现。一个简单的算法是将每个元素与其他元素进行比较。如果有`n`个元素，并且每个元素与`n - 1`个其他元素进行比较，则比较的总数是`n ** 2 - n`，随着`n`增长它与`n ** 2`成正比。

## 2.1 选择排序

例如，这是一个简单算法的实现，叫做“选择排序”

```java
public class SelectionSort {

/**
     * Swaps the elements at indexes i and j.
     */
    public static void swapElements(int[] array, int i, int j) {
        int temp = array[i];
        array[i] = array[j];
        array[j] = temp;
    }

/**
     * Finds the index of the lowest value
     * starting from the index at start (inclusive)
     * and going to the end of the array.
     */
    public static int indexLowest(int[] array, int start) {
        int lowIndex = start;
        for (int i = start; i < array.length; i++) {
            if (array[i] < array[lowIndex]) {
                lowIndex = i;
            }
        }
        return lowIndex;
    }

/**
     * Sorts the elements (in place) using selection sort.
     */
    public static void selectionSort(int[] array) {
        for (int i = 0; i < array.length; i++) {
            int j = indexLowest(array, i);
            swapElements(array, i, j);
        }
    }
}
```

第一个方法`swapElements`交换数组的两个元素。元素的是常数时间的操作，因为如果我们知道元素的大小和第一个元素的位置，我们可以使用一个乘法和一个加法来计算任何其他元素的位置，这都是常数时间的操作。由于`swapElements`中的一切都是恒定的时间，整个方法是恒定的时间。

第二个方法`indexLowest`从给定的索引`start`开始，找到数组中最小元素的索引。每次遍历循环的时候，它访问数组的两个元素并执行一次比较。由于这些都是常数时间的操作，因此我们计算什么并不重要。为了保持简单，我们来计算一下比较的数量。

+   如果`start`为`0`，则`indexLowest`遍历整个数组，并且比较的总数是数组的长度，我称之为`n`。
+   如果`start`为`1`，则比较数为`n - 1`。
+   一般情况下，比较的次数是`n - start`，因此`indexLowest`是线性的。

第三个方法`selectionSort`对数组进行排序。它从`0`循环到`n - 1`，所以循环执行了`n`次。每次调用`indexLowest`然后执行一个常数时间的操作`swapElements`。

第一次`indexLowest`被调用的时候，它进行`n`次比较。第二次，它进行`n - 1`比较，依此类推。比较的总数是

```
n + n−1 + n−2 + ... + 1 + 0 
```

这个数列的和是`n(n+1)/2`，它（近似）与`n ** 2`成正比；这意味着`selectionSort`是平方的。

为了得到同样的结果，我们可以将`indexLowest`看作一个嵌套循环。每次调用`indexLowest`时，操作次数与`n`成正比。我们调用它`n`次，所以操作的总数与`n ** 2`成正比。

## 2.2 大 O 表示法

所有常数时间算法属于称为`O(1)`的集合。所以，说一个算法是常数时间的另一个方法就是，说它是`O(1)`的。与之类似，所有线性算法属于`O(n)`，所有二次算法都属于`O(n ** 2)`。这种分类算法的方式被称为“大 O 表示法”。

这个符号提供了一个方便的方式，来编写通用的规则，关于算法在我们构造它们时的行为。例如，如果你执行线性时间算法，之后是常量算法，则总运行时间是线性的。`∈`表示“是...的成员”：

```
f ∈ O(n) && g ∈ O(1) => f + g ∈ O(n)
```

如果执行两个线性运算，则总数仍然是线性的：

```
f ∈ O(n) && g ∈ O(n) => f + g ∈ O(n)
```

事实上，如果你执行任何次数的线性运算，`k`，总数就是线性的，只要`k`是不依赖于`n`的常数。

```
f ∈ O(n) && k 是常数 => kf ∈ O(n)
```

但是，如果执行`n`次线性运算，则结果为平方：

```
f ∈ O(n) => nf ∈ O(n ** 2)
```

一般来说，我们只关心`n`的最大指数。所以如果操作总数为`2 * n + 1`，则属于`O(n)`。主要常数`2`和附加项`1`对于这种分析并不重要。与之类似，`n ** 2 + 100 * n + 1000`是`O(n ** 2)`的。不要被大的数值分心！

“增长级别”是同一概念的另一个名称。增长级别是一组算法，其运行时间在同一个大 O 分类中；例如，所有线性算法都属于相同的增长级别，因为它们的运行时间为`O(n)`。

在这种情况下，“级别”是一个团体，像圆桌骑士的阶级，这是一群骑士，而不是一种排队方式。因此，你可以将线性算法的阶级设想为一组勇敢，仗义，特别有效的算法。

## 2.3 练习 2

本章的练习是实现一个`List`，使用 Java 数组来存储元素。

在本书的代码库（请参阅 0.1 节）中，你将找到你需要的源文件：

+   `MyArrayList.java`包含`List`接口的部分实现。其中四个方法是不完整的；你的工作是填充他们。
+   `MyArrayListTest.java`包含 JUnit 测试，可用于检查你的工作。

你还会发现 Ant 构建文件`build.xml`。你应该可以从代码目录运行`ant MyArrayList`，来运行`MyArrayList.java`，其中包含一些简单的测试。或者你可以运行`ant MyArrayListTest`运行 JUnit 测试。

当你运行测试时，其中几个应该失败。如果你检查源代码，你会发现四条 TODO 注释，表示你应该填充的方法。

在开始填充缺少的方法之前，让我们来看看一些代码。这里是类定义，实例变量和构造函数。

```java
public class MyArrayList<E> implements List<E> {
    int size;                    // keeps track of the number of elements
    private E[] array;           // stores the elements
    
    public MyArrayList() {
        array = (E[]) new Object[10];
        size = 0;
    }
}
```

正如注释所述，`size`跟踪`MyArrayList`中由多少元素，而且`array`是实际包含的元素的数组。

构造函数创建一个 10 个元素的数组，这些元素最初为`null`，并且`size`设为`0`。·大多数时候，数组的长度大于`size`，所以数组中由未使用的槽。

Java 的一个细节：你不能使用类型参数实例化数组；例如，这样不起作用：

```
array = new E [10];
```

要解决此限制，你必须实例化一个`Object`数组，然后进行类型转换。

接下来，我们将介绍添加元素到列表的方法：

```java
public boolean add(E element) {
    if (size >= array.length) {
        // make a bigger array and copy over the elements
        E[] bigger = (E[]) new Object[array.length * 2];
        System.arraycopy(array, 0, bigger, 0, array.length);
        array = bigger;
    } 
    array[size] = element;
    size++;
    return true;
}
```

如果数组中没有未使用的空间，我们必须创建一个更大的数组，并复制这些元素。然后我们可以将元素存储在数组中并递增`size`。

为什么这个方法返回一个布尔值，这可能不明显，因为它似乎总是返回`true`。如何分析这个方法的性能也不明显。在正常情况下，它是常数时间的，但如果我们必须调整数组的大小，它是线性的。我将在 3.2 节中介绍如何处理这个问题。

最后，让我们来看看`get`；之后你可以开始做这个练习了。

```java
public T get(int index) {
    if (index < 0 || index >= size) {
        throw new IndexOutOfBoundsException();
    }
    return array[index];
}
```

其实`get`很简单：如果索引超出范围，它会抛出异常; 否则读取并返回数组的元素。注意，它检查索引是否小于`size`，大于等于`array.length`，所以它不能访问数组的未使用的元素。

在`MyArrayList.java`中，你会找到`set`的桩，像这样：

```java
public T set(int index, T element) {
    // TODO: fill in this method.
    return null;
}
```

如果再运行`MyArrayListTest`，`testSet`应该通过。

提示：尽量避免重复索引检查的代码。

你的下一个任务是填充`indexOf`。

我提供了一个辅助方法`equals`，它将数组中的元素与目标值进行比较，如果它们相等，返回`true`（并且正确处理`null`），则 返回。请注意，此方法是私有的，因为它仅在此类中使用；它不是`List`接口的一部分。

完成后，`再次运行MyArrayListTest`；`testIndexOf`，以及依赖于它的其他测试现在应该通过。

只剩下两个方法了，你需要完成这个练习。下一个是`add`的重载版本，它接受下标并将新值存储在给定的下标处，如果需要，移动其他元素来腾出空间。

提示：避免重复扩充数组的代码。

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