题目描述补充

题目：最小生成树问题

给定一个无向连通图 $G = (V, E)$，其中 $V$ 是顶点的集合，$E$ 是边的集合，每条边 $e \in E$ 都有一个权重 $w(e)$。最小生成树（Minimum Spanning Tree, MST）是图 $G$ 的一个子图，它包含图 $G$ 的所有顶点 $V$，并且是一个树（即无环且连通），同时它的边的权重之和是所有这样的子图中最小的。

要求：

1. 设计并实现一个算法来找到给定图的最小生成树。
2. 使用PHP、Python、JavaScript中的至少一种语言编写实现代码。

示例代码

Python 示例（使用Prim算法）

import heapq

class Graph:
    def __init__(self, vertices):
        self.V = vertices
        self.graph = [[] for _ in range(vertices)]

    def add_edge(self, u, v, w):
        self.graph[u].append((v, w))
        # 由于是无向图，所以还需要添加反向边
        self.graph[v].append((u, w))

    def prim_mst(self):
        # 用于存储MST中的边
        mst = []
        # 用于跟踪已包括在MST中的顶点
        in_mst = [False] * self.V

        # 选择第一个顶点作为起始点
        key = [float('Inf')] * self.V
        parent = [-1] * self.V
        key[0] = 0

        # 使用优先队列（通过heapq实现）来按权重提取边
        priority_queue = [(0, 0)]

        while priority_queue:
            # 提取最小权重的边
            u = heapq.heappop(priority_queue)[1]

            # 顶点u已经在MST中
            in_mst[u] = True

            # 遍历所有与u相邻的顶点
            for v, weight in self.graph[u]:
                if not in_mst[v] and weight < key[v]:
                    # 更新权重和父节点
                    key[v] = weight
                    parent[v] = u
                    heapq.heappush(priority_queue, (weight, v))

                    # 如果这条边是MST的一部分，则添加到mst列表中
                    mst.append((u, v, weight))

        return mst

# 示例
g = Graph(5)
g.add_edge(0, 1, 10)
g.add_edge(0, 2, 6)
g.add_edge(0, 3, 5)
g.add_edge(1, 3, 15)
g.add_edge(2, 3, 4)
g.add_edge(3, 4, 20)
g.add_edge(2, 4, 8)

mst = g.prim_mst()
print("Edges of MST are:")
for u, v, w in mst:
    print(f"{u} -- {v} == {w}")

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注意

• 上述代码实现了Prim算法来找到图的最小生成树。
• 使用了Python的heapq模块来高效地处理边的权重。
• Graph类用于构建图，并通过add_edge方法添加边。
• prim_mst方法实现了Prim算法，并返回MST的边列表。
• 输出MST的边时，同时显示了边的权重。

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