第十四章：实战四：树与图算法应用-PHP程序员面试算法宝典

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### 第十四章：实战四：树与图算法应用

在软件开发领域，尤其是在PHP程序员面试中，树与图算法的应用是考察应聘者算法设计与分析能力的重要环节。树与图作为数据结构中的两大类，不仅在理论研究中占据重要地位，在解决实际问题时也展现出其强大的威力。本章将深入探讨几种常见的树与图算法，并通过实战案例展示它们在PHP中的具体应用。

#### 1. 树的基础与遍历算法

**1.1 树的基本概念**

树是一种非线性数据结构，由n（n≥0）个节点组成，每个节点有零个或多个子节点，没有父节点的节点称为根节点，每个非根节点有且仅有一个父节点。树中不存在环，即任意两个节点之间只有一条路径相连。

**1.2 树的遍历算法**

- **前序遍历（Preorder Traversal）**：首先访问根节点，然后遍历左子树，最后遍历右子树。
- **中序遍历（Inorder Traversal）**：首先遍历左子树，然后访问根节点，最后遍历右子树。这种遍历方式在二叉搜索树中尤为重要，因为中序遍历的结果是有序的。
- **后序遍历（Postorder Traversal）**：首先遍历左子树，然后遍历右子树，最后访问根节点。
- **层次遍历（Level Order Traversal）**：按从上到下、从左到右的顺序遍历树的每个节点。

**PHP实现示例**：

```php
class TreeNode {
    public $val;
    public $left;
    public $right;

function __construct($val = 0, $left = null, $right = null) {
        $this->val = $val;
        $this->left = $left;
        $this->right = $right;
    }
}

function preorderTraversal($root) {
    $result = [];
    preorderHelper($root, $result);
    return $result;
}

function preorderHelper($node, &$result) {
    if ($node === null) return;
    $result[] = $node->val;
    preorderHelper($node->left, $result);
    preorderHelper($node->right, $result);
}

// 类似地，可以实现中序、后序遍历和层次遍历
```

#### 2. 二叉搜索树（BST）

**2.1 BST的定义与性质**

二叉搜索树（Binary Search Tree, BST）是一种特殊的二叉树，它满足对于树中的任意节点X，其左子树中的所有节点的值都小于X的值，其右子树中的所有节点的值都大于X的值。BST的中序遍历结果是一个递增的有序序列。

**2.2 BST的操作**

- **插入**：保持BST的性质，将新节点插入到合适的位置。
- **删除**：删除节点时，需考虑节点为叶子节点、仅有一个子节点或有两个子节点的情况，并维护BST的性质。
- **查找**：通过比较节点值与目标值的大小，决定是向左子树还是右子树递归查找。

**PHP实现示例**（仅展示插入和查找）：

```php
function insertIntoBST($root, $val) {
    if ($root === null) {
        return new TreeNode($val);
    }
    if ($val < $root->val) {
        $root->left = insertIntoBST($root->left, $val);
    } else {
        $root->right = insertIntoBST($root->right, $val);
    }
    return $root;
}

#### 3. 图的表示与遍历算法

**3.1 图的表示**

图通常由顶点（Vertex）和边（Edge）组成，根据边是否有方向可分为有向图和无向图。图的表示主要有邻接矩阵和邻接表两种方式。

- **邻接矩阵**：用一个二维数组表示，`adjMatrix[i][j]`的值为1表示顶点i到顶点j有边，为0则无。
- **邻接表**：对每个顶点，用一个列表存储与其相连的所有顶点。

**3.2 图的遍历算法**

- **深度优先搜索（DFS）**：通过递归或栈实现，尽可能深地遍历图的分支。
- **广度优先搜索（BFS）**：通过队列实现，按层次遍历图的节点。

**PHP实现示例**（以邻接表表示图，并实现DFS）：

```php
class Graph {
    private $adjList = [];

function addEdge($u, $v) {
        $this->adjList[$u][] = $v;
        // 无向图需添加：$this->adjList[$v][] = $u;
    }

function DFSUtil() {
        $visited = array_fill(0, count($this->adjList), false);
        foreach (array_keys($this->adjList) as $i) {
            if (!$visited[$i]) {
                $this->DFS($i, $visited);
            }
        }
    }
}

// 使用示例
$g = new Graph();
$g->addEdge(0, 1);
$g->addEdge(0, 2);
$g->addEdge(1, 2);
$g->addEdge(2, 0);
$g->addEdge(2, 3);
$g->addEdge(3, 3);

$g->DFSUtil(); // 输出遍历结果
```

#### 4. 实战案例：最短路径问题

**4.1 Dijkstra算法**

Dijkstra算法用于解决单源最短路径问题，即在图中找到从一个顶点到其他所有顶点的最短路径。算法使用贪心策略，逐步扩展已找到最短路径的顶点集合。

**PHP实现Dijkstra算法**（简化版）：

```php
function dijkstra($graph, $src) {
    $distances = array_fill(0, count($graph), PHP_INT_MAX);
    $distances[$src] = 0;
    $priorityQueue = new SplPriorityQueue();
    foreach (array_keys($graph) as $vertex) {
        $priorityQueue->insert([$distances[$vertex], $vertex], -$distances[$vertex]);
    }

while (!$priorityQueue->isEmpty()) {
        [$dist, $u] = $priorityQueue->extract();

if ($dist > $distances[$u]) continue;

foreach ($graph[$u] as $v => $weight) {
            $distance = $dist + $weight;
            if ($distance < $distances[$v]) {
                $distances[$v] = $distance;
                $priorityQueue->insert([$distance, $v], -$distance);
            }
        }
    }
    return $distances;
}

// 假设图以邻接表形式给出
```

#### 5. 总结

本章通过介绍树与图的基本概念、遍历算法、以及在实际问题中的应用（如BST的操作、图的遍历、最短路径问题等），展示了树与图算法的强大功能。掌握这些算法不仅有助于提升PHP程序员的算法设计能力，更能帮助他们在面对复杂问题时找到有效的解决方案。未来，随着技术的不断进步，树与图算法的应用领域还将不断拓展，为软件开发带来更多可能。