一元线性回归模型也被称为简单线性回归模型，是指模型中只含有一个自变量和一个因变量，用来建模的数据集可以表示成{(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)}。其中，xi表示自变量x的第i个值，yi表示因变量y的第i个值，n表示数据集的样本量。当模型构建好之后，就可以根据其他自变量x的值，预测因变量y的值，该模型的数学公式可以表示成：
如上公式所示，该模型特别像初中所学的一次函数。其中，a为模型的截距项，b为模型的斜率项，ε为模型的误差项。模型中的a和b统称为回归系数，误差项ε的存在主要是为了平衡等号两边的值，通常被称为模型无法解释的部分。
为了使读者理解简单线性回归模型的数学公式，这里不妨以收入数据集为例，探究工作年限与收入之间的关系。在第6章的数据可视化部分已经介绍了有关散点图的绘制，下面将绘制工作年限与收入的散点图，并根据散点图添加一条拟合线：
# 导入第三方模块 import pandas as pd import matplotlib.pyplot as plt import seaborn as sns # 导入数据集 income = pd.read_csv(r'C:\Users\Administrator\Desktop\Salary_Data.csv') # 绘制散点图 sns.lmplot(x = 'YearsExperience', y = 'Salary', data = income, ci = None) # 显示图形 plt.show()
图7-1反映的就是自变量YearsExperience与因变量Salary之间的散点图，从散点图的趋势来看，工作年限与收入之间存在明显的正相关关系，即工作年限越长，收入水平越高。图中的直线就是关于散点的线性回归拟合线，从图中可知，每个散点基本上都是围绕在拟合线附近。虽然通过可视化的方法可以得知散点间的关系和拟合线，但如何得到这条拟合线的数学表达式呢？
拟合线的求解
本节的内容就是关于简单线性回归模型的求解，即如何根据自变量x和因变量y，求解回归系数a和b。前面已经提到，误差项ε是为了平衡等号两边的值，如果拟合线能够精确地捕捉到每一个点（所有的散点全部落在拟合线上），那么对应的误差项ε应该为0。按照这个思路来看，要想得到理想的拟合线，就必须使误差项ε达到最小。由于误差项是y与a+bx的差，结果可能为正值或负值，因此误差项ε达到最小的问题需转换为误差平方和最小的问题（最小二乘法的思路）。误差平方和的公式可以表示为：
由于建模时的自变量值和因变量值都是已知的，因此求解误差平方和最小值的问题就是求解函数J(a,b)的最小值，而该函数的参数就是回归系数a和b。
该目标函数其实就是一个二元二次函数，如需使得目标函数J(a,b)达到最小，可以使用偏导数的方法求解出参数a和b，进而得到目标函数的最小值。关于目标函数的求导过程如下：
第一步：展开平方项
第二步：设偏导数为0
第三步：和公式转换
第四步：化解
第五步：将参数a带入，求解b
如上推导结果所示，参数a和b的值都是关于自变量x和因变量y的公式。接下来，根据该公式，利用Pyhton计算出回归模型的参数值a和b。
如上所示，利用Python的计算功能，最终得到模型的回归参数值。你可能会觉得麻烦，为了计算回归模型的参数还得人工写代码，是否有现成的第三方模块可以直接调用呢？答案是肯定的，这个模块就是statsmodels，它是专门用于统计建模的第三方模块，如需实现线性回归模型的参数求解，可以调用子模块中的ols函数。有关该函数的语法及参数含义可见下方：
ols(formula, data, subset=None, drop_cols=None)
这是一个语法非常简单的函数，而且参数也通俗易懂，但该函数的功能却很强大，不仅可以计算模型的参数，还可以对模型的参数和模型本身做显著性检验、计算模型的决定系数等。接下来，利用该函数计算模型的参数值，进而验证手工方式计算的参数是否正确：
如上结果所示，Intercept表示截距项对应的参数值，YearsExperience表示自变量工作年限对应的参数值。对比发现，函数计算出来的参数值与手工计算的结果完全一致，所以，关于收入的简单线性回归模型可以表示成：
